http://www.kit.edu/ Wahrscheinlichkeitstheorie, SS2016, Vorlesung de Thu, 19 May 2016 11:00:00 +0200 Fri, 22 Jul 2016 14:31:00 +0200 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Wahrscheinlichkeitstheorie, SS2016, Vorlesung Inhalt: Maß-Integral | Monotone und majorisierte Konvergenz | Lemma von Fatou | Nullmengen u. Maße mit Dichten | Satz von Radon-Nikodym | Produkt-sigma-Algebra | Familien von unabhängigen Zufallsvariablen | Transformationssatz für Dichten | Schwache Konvergenz | Charakteristische Funktion | Zentraler Grenzwertsatz | Bedingte Erwartungswerte | Zeitdiskrete Martingale und Stoppzeiten KIT, Vorlesung, Mathematik, Henze, Zufallsvariable, Grundräume, Ereignisse, Wahrscheinlichkeitstheorie, Normalverteilung, Konvergenz no Karlsruher Institut für Technologie (KIT) info@itunesu.kit.edu no Prof. Dr. Norbert Henze 01 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Axiomensystem von Kolmogorov 0:05:31 Als bekannt vorausgesetzte Begriffe 0:14:12 Eindeutigkeitssatz und Fortsetzungssatz für Maße 0:17:23 Maßdefinierende Funktionen und Verteilungsfunktionen 0:20:05 Messbarkeit, Bildmaß, Verteilung 0:29:12 Aufbau des Maß-Integrals 0:39:13 Erwartungswert als Maß-Integral 0:41:06 Fast überall geltende Eigenschaften 0:42:37 Nullmengen-Unempfindlichkeit des Integrals 0:43:10 Markov-Ungleichung und Folgerungen 0:43:36 Konvergenzsätze von Beppo Levi und Lebesgue, Lemma von Fatou 0:50:34 Beweisprinzip der algebraischen Induktion 0:54:43 Integration bezüglich eines Bildmaßes 0:59:57 Maße mit Dichten 1:09:31 Integration bezüglich eines Bildmaßes 1:15:11 Absolute Stetigkeit von Maßen 1:18:15 Satz von Radon-Nikodym http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-298 Mon, 02 May 2016 15:10:17 +0200 01:22:30 Prof. Dr. Norbert Henze 02 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der neuen Begriffe von Lektion 1 0:02:15 Bemerkungen zum Satz von Radon-Nikodym 0:09:25 Singularität von Maßen 0:12:23 Beispiel: Gleichverteilung auf einem Kreisrand 0:15:46 Lebesgue-Zerlegung 0:24:36 Singularität und absolute Stetigkeit beüglich des Borel-Lebesgue-Maßes 0:32:31 Lebesgue-Punkt, Lebesguescher Dichtesatz 0:34:41 Transformationssatz für Lebesgue-Dichten 0:37:11 Lemma von Schreffé 0:46:30 Produkt-Maß 0:49:03 Sätze von Tonelli und Fubini 0:52:15 Integral von Dirichlet 0:59:07 Darstellungsformel für den Erwartungswert 1:08:28 Lebesgue-Stieltjes-Integral 1:12:03 Partielle Integration beim Lebesgue-Stieltjes-Integral 1:22:10 Wichtige Ungleichungen http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-299 Mon, 02 May 2016 15:22:12 +0200 01:26:02 Prof. Dr. Norbert Henze 03 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von neuen Begriffen und Sätzen aus Lektion 2 0:06:26 Jensensche Ungleichung für Erwartungswerte 0:13:56 Von einer Familie von Abbildungen erzeugte Sigma-Algebra 0:18:28 Messbarkeit bzgl. einer von einer Familie von Abbildungen erzeugten Sigma-Algebra 0:26:23 Beispiel C[0,1] 0:33:57 Abzählbar-unendliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen 0:48:48 Unabhängigkeit von Ereignissen und Mengensystemen 0:53:35 Beispiel für eine Folge unabhängiger Mengensysteme 0:59:16 Erweiterung unabhängiger Systeme auf erzeugte Dynkin-Systeme 1:06:18 Erweiterung unabh. durchschnittsstabiler Systeme auf erzeugte Sigma-Algebren 1:08:31 Disjunkte Blöcke unabhhängiger durchschnittsstabiler Systeme sind unabhängig (Blockungslemma) 1:16:15 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 1:21:01 Funktionen unabhängiger Zufallsvariablen sind unabhängig http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-300 Mon, 02 May 2016 16:10:17 +0200 01:25:11 Prof. Dr. Norbert Henze 04 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Sätzen aus Lektion 3 0:07:21 Blockungslemma 0:14:30 Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme 0:22:18 Unabhängigkeit und Produktmaße 0:27:25 Unabhängigkeit und Verteilungsfunktionen 0:36:01 Unabhängigkeit und Lebesgue-Dichten 0:43:45 Existenz von Folgen unabhängigker Zufallsvariablen I 0:49:35 Existenz von Folgen unabhängigker Zufallsvariablen II 1:06:36 Terminale Sigma-Algebra, terminales Ereignis 1:12:17 Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov 1:18:55 Beispiel: Kantenperkolation auf dem ganzzahligen Gitter http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-327 Thu, 12 May 2016 10:09:19 +0200 01:24:38 Prof. Dr. Norbert Henze 04 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Sätzen aus Lektion 3 0:07:21 Blockungslemma 0:14:30 Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme 0:22:18 Unabhängigkeit und Produktmaße 0:27:25 Unabhängigkeit und Verteilungsfunktionen 0:36:01 Unabhängigkeit und Lebesgue-Dichten 0:43:45 Existenz von Folgen unabhängigker Zufallsvariablen I 0:49:35 Existenz von Folgen unabhängigker Zufallsvariablen II 1:06:36 Terminale Sigma-Algebra, terminales Ereignis 1:12:17 Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov 1:18:55 Beispiel: Kantenperkolation auf dem ganzzahligen Gitter http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-329 Tue, 10 May 2016 15:03:19 +0200 01:22:54 Prof. Dr. Norbert Henze 06 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate on Lektion 6 0:05:40 Verallgemeinerung auf Zufallsvektoren 0:12:27 Rechenregeln zur stochastischen Konvergenz 0:19:29 Konvergenz im p-ten Mittel 0:23:11 Beziehungen zwischen den Konvergenzbegriffen 0:31:04 Gesetze großer Zahlen (Einführung) 0:33:43 Schwaches Gesetz großer Zahlen 0:35:36 Starkes Gesetz großen Zahlen 0:38:50 Beweis der Notwendigkeit der Existenz des Erwartungswertes für die Gültigkeit des starken Gesetzes großer Zahlen 0:48:27 Borels Satz über normale Zahlen 0:52:43 Kolmogorovsche Maximalungleichung 1:08:07 Das Lemma von Cesàro 1:13:42 Das Lemma von Kronecker 1:19:23 Das Kolmogorov-Kriterium http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-355 Thu, 19 May 2016 11:27:56 +0200 01:27:21 Prof. Dr. Norbert Henze 07 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Resultate von Lektion 6 0:06:09 Kolmogorov-Kriterium 0:22:00 Starkes Gesetz großer Zahlen bei gleichmäßig beschränkten Varianzen 0:24:03 Beweis der Hinlänglichkeit der Existenz des Erwartungswertes für das starke GGZ 0:53:30 Anwendung: Monte-Carlo Integration 1:01:47 Konvergenzgeschwindigkeit beim starken Gesetz großer Zahlen 1:04:48 Das Gesetz vom iterierten Logarithmus (GIL) 1:06:32 Der Satz von Strassen (Verschärfung des GIL) 1:09:25 Charakteristische Funktionen (Einführung) 1:19:51 Charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen 1:23:39 Beispiel (Poisson-Verteilung) http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-367 Mon, 23 May 2016 09:28:58 +0200 01:27:13 Prof. Dr. Norbert Henze 08 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der wichtigsten Begriffe und Resultate von Lektion 7 0:04:52 Charakteristische Funktion der Standardnormalverteilung 0:11:24 Elementare Eigenschaften charakteristischer Funktionen 0:21:42 Charakteristische Funktion einer allgemeinen Normalverteilung 0:23:34 Charakteristische Funktionen und Momente 0:45:54 Multiplikationsformel für charakteristische Funktionen 0:49:25 Umkehrformeln, Eindeutigkeitssatz http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-387 Mon, 30 May 2016 14:30:17 +0200 01:22:30 Prof. Dr. Norbert Henze 09 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Charakterisierung nullsymmetrischer Verteilungen 0:01:36 Additionsätze 0:04:45 Additionsätze 0:13:31 Riemann-Lebesgue-Lemma, Charakteris. von Gitterverteilungen, erzeug. Funktion, Laplace-Transformierte 0:20:45 Verteilungskonvergenz 0:26:50 Diskussion (Eindeutigkeit der Grenzverteilung, Satz von Pólya, warum nur Stetigkeitsstellen?) 0:33:51 Beispiel (Gumbelsche Extremwertverteilung) 0:42:17 Beispiel (Zentraler Grenzwertsatz von deMoivre-Laplace) 0:44:29 Beispiel (Gesetz seltener Ereignisse) 0:47:49 Aus stochastischer Konvergenz folgt Verteilungskonvergenz 0:56:51 Übersicht über die Konvergenzbegriffe 0:57:42 Lemma von Sluzki http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-405 Thu, 02 Jun 2016 12:50:15 +0200 01:08:52 Prof. Dr. Norbert Henze 10 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Sätzen aus Lektion 9 0:06:13 Konvergieren zwei Folgen in Verteilung gegen X bzw. Y, so konvergiert die Summenfolge nicht unbedingt gegen X+Y. 0:12:31 Satz von Skorokhod 0:21:20 Abbildungssatz 0:29:34 Verteilungskonvergenz impliziert nicht notwendig Konvergenz der betreffenden Erwartungswerte 0:37:11 Charakterisierung der Verteilungskonvergenz 0:58:24 Auswahlsatz von Helly 1:09:18 Die Limesfunktion im Satz von Helly muss keine Verteilungsfunktion sein http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-414 Mon, 06 Jun 2016 09:58:41 +0200 01:11:37 Prof. Dr. Norbert Henze 11 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 10 0:07:16 Straffheit, Beispiele 0:20:40 Relative Kompaktheit 0:22:50 Relative Kompaktheit ist notwendig für Verteilungskonvergenz 0:24:33 Straffheit und relative Kompaktheit sind äquivalent 0:38:54 Satz über Straffheit und Verteilungskonvergenz 0:44:51 Stochastische Beschränktheit, stochastische Landau-Notation 0:49:54 Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér 1:06:28 Charakteristische Funktionen und Verteilungskonvergenz 1:11:04 Zentrale Grenezwertsätze (Einführung) http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-424 Tue, 07 Jun 2016 14:24:05 +0200 01:20:59 Prof. Dr. Norbert Henze 12 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate von Lektion 11 0:05:37 Zentrale Grenzwertsätze (Einführung) 0:06:12 Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS) von Lindeberg-Lévy 0:08:51 Beweis des ZGWS von Lindeberg-Lévy 0:37:44 Satz von Berry-Esséen 0:43:57 Dreiecksschemata 0:50:14 ZGWS von Lindeberg-Feller (LF) 0:51:57 Beweis des ZGWS von LF 1:19:39 Bem. zum ZGWS von LF, Feller-Bedingung, Bed. der gleichm. asymptotischen Vernachlässigbarkeit http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-460 Tue, 14 Jun 2016 15:58:49 +0200 01:25:44 Prof. Dr. Norbert Henze 13 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der wichtigsten Resultate von Lektion 12 0:04:56 Zentraler Grenzwertsatz von Ljapunov 0:11:20 Grenzverteilung der Anzahl der Rekorde in einer zufälligen Permutation 0:28:56 Anwendung: Test auf p=q im Zwei-Stichproben-Fall bei dichotomem Merkmal 0:48:06 Übergangswahrscheinlichkeiten und bedingte Verteilungen (Einführung) 1:01:46 Beispiel (Trefferanzahl bei rein zufälliger Trefferwahrscheinlichkeit) 1:04:54 Übergangswahrscheinlichkeiten, Markov-Kerne 1:09:07 Kopplung einer Startverteilung und einer Übergangswahrscheinlichkeit http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-481 Thu, 23 Jun 2016 10:48:39 +0200 01:25:04 Prof. Dr. Norbert Henze 14 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 13 0:05:26 Satz von Fubini für Übergangswahrscheinlichkeiten 0:12:41 Bemerkungen zur Kopplung (Modellierungsaspekt, Zusammenhang mit bedingten W‘en) 0:22:54 Übergangswahrscheinlichkeiten und Dichten 0:30:16 Beispiel (Münzwürfe mit gleichverteilter Erfolgswahrscheinlichkeit) 0:39:35 Bemerkung (iterierte Berechnung von Erwartungswerten) 0:44:19 Konstruktion der Verteilung eines Zufallsvektors aus Marginalvert. und bedingter Verteil. 0:50:02 Bedingte Verteilung 0:59:23 Beispiel (Verteilungsmischungen) 1:06:49 Beispiel Negative Binomialverteilung als „Gamma-Mischung“ von Poisson-Verteilungen) 1:12:45 Beispiel (bivariate Normalverteilung) 1:20:30 Zerlegung einer gemeinsamen Verteilung in Marginalverteilung und bedingte Verteilung http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-483 Thu, 23 Jun 2016 11:00:18 +0200 01:25:26 Prof. Dr. Norbert Henze 15 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Resultaten aus Lektion 14 0:04:24 Bedingte Verteilung bei gemeinsamer Dichte 0:18:11 Bedingte Verteilung bei gemeinsamer Dichte 0:20:23 Interpretation der bedingten Dichte 0:25:36 Bedingte Verteilung von X unter der Bedingung |X| =t 0:33:25 Bedingte Verteilung bei bivariater Normalverteilung 0:37:37 Bedingte Erwartungswerte und bedingte Erwartungen (Einführung) 0:53:03 Bedingte Erwartung bzgl. einer von einer Zerlegung erzeugten Sigma-Algebra 1:04:30 Konkretes Beispiel 1:08:50 Bedingte Erwartung (allgemeine Definition) 1:10:27 Existenz und (P-fast sichere) Eindeutigkeit der bedingten Erwartung 1:21:23 Bedingte Erwartung als Menge von Zufallsvariablen, Version der bedingten Erwartung http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-507 Fri, 01 Jul 2016 13:19:01 +0200 01:24:36 Prof. Dr. Norbert Henze 16 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 15: Bedingte Erwartung 0:06:14 Bedingte Erwartung als Orthogonalprojektion 0:25:31 Eigenschaften I (Linearität, Monotonie, iterierter E-Wert) 0:26:30 Nachweis der Existenz der bedingten Erwartung durch L2-Approximation 0:44:21 Eigenschaften II (Herausziehen G-mb. Faktoren, Turmeigenschaft, Dreiecksungleichung, Streichen einer unabhängigen Sigma-Algebra 1:00:05 Bedingte Versionen der Konvergenzsätze 1:04:52 Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen 1:15:29 Eine von X und G unabhängige Sigma-Algebra ist irrelevant http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-511 Tue, 05 Jul 2016 09:41:29 +0200 01:24:48 Prof. Dr. Norbert Henze 17 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Resultate aus Lektion 16 0:07:08 Beispiel (Anwendung verschiedener Rechenregeln) 0:14:40 Faktorisierungslemma 0:25:32 Bedingte Erwartung E[X|Z], Faktorisierung von E[X|Z] 0:34:06 Bedingter Erwartungswert E[X|Z=z] 0:40:04 Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|Z), P(A|Z=z) 1:00:42 Bedingter Erwartungswert als Erwartungswert der bedingten Verteilung 1:08:03 Spezialfall einer gemeinsamen Verteilung mit einer Dichte 1:12:00 Berechnung von Ef(Z,X) 1:17:20 Stoppzeiten und Martingale (allgemeine Betrachtungen) 1:20:24 Filtration, Stoppzeit, Adaptiertheit http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-531 Mon, 11 Jul 2016 17:13:49 +0200 01:25:56 Prof. Dr. Norbert Henze 18 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate von Lektion 17 0:04:14 Diskussion (Filtration, Adaptiertheit, Stoppzeit) 0:10:19 Charakterisierung einer Stoppzeit 0:13:35 Summen, Maxima und Minima von Stoppzeiten sind Stoppzeiten 0:15:09 Beispiele für Stoppzeiten (Ersteintrittszeiten, konstante Stoppzeit) 0:21:24 Sigma-Algebra der tau-Vergangenheit 0:24:57 Satz (Messbarkeit einer gestoppten Zufallsvariablen) 0:30:10 Beispiel (Stoppen in einem Urnenmodell) 0:40:59 Submartingal, Supermartingal, Martingal 0:45:35 Interpretation (Submartingal, Supermartingal, Martingal) 0:49:00 Monotonie bzw, Konstanz der Folge (E(X_n)) bei Sub- bzw. Supermartingal und Martingal 0:51:43 Test eines Sub- bzw. Supermartingals auf ein Martingal 0:55:25 Beispiel: Partialsummen unabhängiger Zufallsvariablen 0:59:43 Beispiel: (Partial-)Produkte unabhängiger Zufallsvariablen 1:03:30 Das Doobsche Martingal 1:07:26 Prävisible (vorhersagbare) Folge 1:09:49 Beispiel 1:11:27 Ein vorhersagbares Martingal ist mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant 1:13:35 Die Doob-Zerlegung http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-552 Tue, 19 Jul 2016 10:29:09 +0200 01:26:23 Prof. Dr. Norbert Henze 19 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 18 0:09:15 L2-Martingale haben orthogonale Zuwächse 0:12:25 Martingale und konvexe Funktionen liefern Submartingale 0:14:18 Spielsysteme 0:19:49 Martingaltransformation 0:21:24 Satz über die Martingaltransformation 0:28:11 Bemerkungen zut Martingaltransformation 0:30:21 Gestoppte Martingale bleiben Martingale 0:37:55 Satz (Optionales Stoppen, Doob) 0:56:11 Das Spieler-Ruin-Problem http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-553 Tue, 19 Jul 2016 10:31:30 +0200 01:21:48 Prof. Dr. Norbert Henze 20 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Resultaten aus Lektion 19 0:08:08 Symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen: Stoppen in der Höhe 1 0:20:31 Hauptlemma für symmetrische Irrfahrten auf den ganzen Zahlen 0:40:42 Die Waldsche Gleichung http://dx.doi.org/10.5445/DIVA/2016-563 Thu, 21 Jul 2016 09:22:56 +0200 00:50:27